Об оптимальном выборе модуля Юнга для функционально-градиентного материала

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

В работе рассмотрена задача о максимизации значения первой собственной частоты для функционально-градиентного материала в зависимости от закона изменения модуля Юнга. При этом предполагается, что имеется ограничение на среднее интегральное значение модуля Юнга. Используя метод конечных элементов для численного решения двумерной осесимметричной задачи о свободных колебаниях цилиндра, показано влияние переменных свойств материала на значение первой собственной частоты. С помощью методов вариационного исчисления на основе общей постановки задачи для неоднородного упругого изотропного тела получено условие оптимальности. Отмечено, что левая часть этого условия имеет квадратичную форму. В общем случае задача поиска оптимального закона изменения модуля Юнга является существенно нелинейной и для ее решения необходимо использовать специальные численные методы. Используя полученное условие оптимальности, рассмотрены три частные задачи: об изгибных колебаниях круглой сплошной пластины, продольных колебаниях стержня и радиальных колебаниях сплошного тонкого диска с учетом соответствующих гипотез. Для всех задач получены оптимальные законы изменения модуля Юнга и функции перемещения в аналитическом виде. В частности, в задаче для диска предложено представление для радиальной компоненты поля перемещения, которое описывается линейным законом. Показано, что в этом случае соответствующие радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений равны между собой. Из уравнения движения и граничного условия на внешней границе найдена искомая функция изменения модуля Юнга по радиальной координате в аналитическом виде. Получено аналитическое выражение для определения значения собственной частоты, соответствующее найденному решению. Проведена оценка точности этой формулы путем сравнения с численным решением, полученным с помощью метода конечных элементов в пакете FlexPDE. Проведено сравнение значений собственной частоты для диска из однородного и неоднородного материала.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

А. О. Ватульян

Южный федеральный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: aovatulyan@sfedu.ru

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича

Россия, Ростов-на-Дону

В. В. Дударев

Южный федеральный университет

Email: dudarev_vv@mail.ru

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича

Россия, Ростов-на-Дону

Р. М. Мнухин

Южный федеральный университет

Email: romamnuhin@yandex.ru

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича

Россия, Ростов-на-Дону

Список литературы

  1. Suresh S., Mortensen A. Fundamentals of Functionally Graded Materials. London: IOM Commun. Ltd., 1998. 165 p.
  2. Birman V., Byrd L. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Appl. Mech. Rev. 2007. V. 60. № 5. P. 195–216. https://www.doi.org/10.1115/1.2777164
  3. Kieback B., Neubrand A., Riedel H. Processing techniques for functionally graded materials // Mater. Sci. Eng., A. 2003. V. 362. № 1–2. https://www.doi.org/10.1016/S0921-5093(03)00578-1
  4. Naebe M., Shirvanimoghaddam K. Functionally graded materials: A review of fabrication and properties // Appl. Materials Today. 2016. V. 5. P. 223–245. https://www.doi.org/10.1016/j.apmt.2016.10.001
  5. Селяев В.П., Карташов В.А., Клементьев В.Д., Лазарев А.Л. Функционально-градиентные композиционные строительные материалы и конструкции. Саранск: Мордовский государственный ун-т им. Н.П. Огарева, 2005. 160 с.
  6. Saleh B., Jiang J., Fathi R. et al. 30 Years of functionally graded materials: An overview of manufacturing methods, applications and future challenges // Composites, Pt. B. 2020. V. 201. Art. No. 108376. https://www.doi.org/10.1016/j.compositesb.2020.108376
  7. Boggarapu V., Gujjala R., Ojha S. et al. State of the art in functionally graded materials // Compos. Struct. 2021. V. 262. Art. No. 113596. https://www.doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.113596
  8. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций: Вопросы вибрации и потери устойчивости. Механика. Новое в зарубежной науке: Сб. статей. Вып. 27. М.: Мир, 1981. 277 с.
  9. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. 256 с.
  10. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986. 304 с.
  11. Yang S.T., Liang Y.J. Stacking sequence optimization of composite laminates for maximum fundamental frequency using Bayesian optimization computational framework // Results in Engng. 2024. V. 23. Art. No. 102586. https://www.doi.org/10.1016/j.rineng.2024.102586
  12. Narita Y., Robinson P. Maximizing the fundamental frequency of laminated cylindrical panels using layerwise optimization // Int. J. of Mech. Sci. 2006. V. 48. № 12. P. 1516–1524. https://www.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2006.06.008
  13. Trias D., Maimí P., Blanco N. Maximization of the fundamental frequency of plates and cylinders // Compos. Struct. 2016. V. 156. P. 375–384. https://www.doi.org/10.1016/j.compstruct.2015.08.034
  14. Marzok A., Waisman H. Topology optimization of extruded beams modeled with the XFEM for maximizing their natural frequencies // Mech. Res. Commun. 2024. V. 135. Art. No. 104234. https://www.doi.org/10.1016/j.mechrescom.2023.104234
  15. Kamgar R., Rahmani F., Rahgozar R. Geometrical and material optimization of the functionally graded doubly-curved shell by metaheuristic optimization algorithms // Structures. 2024. V. 62. Art. No. 106254. https://www.doi.org/10.1016/j.istruc.2024.106254
  16. Jensen J.S., Pedersen N.L. On maximal eigenfrequency separation in two-material structures: the 1D and 2D scalar cases // J. of Sound&Vibr. 2006. V. 289. № 4–5. P. 967–986. https://www.doi.org/10.1016/j.jsv.2005.03.028
  17. Du J., Olhoff N. Topological design of freely vibrating continuum structures for maximum values of simple and multiple eigenfrequencies and frequency gaps // Struct.&Multidisc. Optimiz. 2007. V. 34. P. 91–110. https://www.doi.org/10.1007/s00158-007-0101-y
  18. Sun J., Tian Q., Hu H., Pedersen N.L. Topology optimization for eigenfrequencies of a rotating thin plate via moving morphable components // J. of Sound&Vibr. 2019. V. 448. P. 83–107. https://www.doi.org/10.1016/j.jsv.2019.01.054
  19. Li Q., Wu Q., Dou S. et al. Nonlinear eigenvalue topology optimization for structures with frequency-dependent material properties // Mech. Syst.&Signal Proc. 2022. V. 170. Art. No. 108835. https://www.doi.org/10.1016/j.ymssp.2022.108835
  20. Meng Z., Yang G., Wu Q. et al. Reliability-based topology optimization for fundamental frequency maximization with frequency band constraints // Mech. Syst.&Signal Proc. 2023. V. 195. Art. No. 110295. https://www.doi.org/10.1016/j.ymssp.2023.110295
  21. Bachour R.S., Nicoletti R. Natural frequencies and band gaps of periodically corrugated beams // J. of Vibr.&Acoust. 2021. V. 143. № 4. Art. No. 044502. https://www.doi.org/10.1115/1.4048889
  22. Shi J., Wang W., Fan Y. et al. Creating absolute band gap based on frequency locking of three wave modes in a wavy plate // J. of Sound&Vibr. 2024. V. 592. Art. No. 118623. https://www.doi.org/10.1016/j.jsv.2024.118623
  23. Zhou L., Han W., Wan S. Low frequency band gap for box girder attached IDVAs // Thin-Walled Struct. 2022. V. 174. Art. No. 109088. https://www.doi.org/10.1016/j.tws.2022.109088
  24. Niordson F. Optimal disks in vibration // Int. J. of Solids&Struct. 1997. V. 34. № 23. P. 2957–2968. https://www.doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00186-8
  25. Blom A.W., Setoodeh S., Hol J.M.A.M., Gurdal Z. Design of variable-stiffness conical shells for maximum fundamental eigenfrequency // Comput.&Struct. 2008. V. 86. № 9. P. 870–878. https://www.doi.org/10.1016/j.compstruc.2007.04.020
  26. Blom A.W., Stickler P.B., Gürdal Z. Optimization of a composite cylinder under bending by tailoring stiffness properties in circumferential direction // Compos. Pt. B: Engng. 2010. V. 41. № 2. P. 157–165. https://www.doi.org/10.1016/j.compositesb.2009.10.004
  27. Ватульян А.О., Недин Р.Д. Об одной задаче оптимизации для преднапряженной пластины с переменной жесткостью // Пробл. прочн. и пластич. 2024. Т. 86. № 2. С. 202–214. https://www.doi.org/10.32326/1814-9146-2024-86-2-202-214
  28. Lurie A.I., Belyaev A. Theory of Elasticity. Berlin; Heidelberg: Springer, 2005. 1050 p. https://www.doi.org/10.1007/978-3-540-26455-2
  29. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Ленанд, 2014. 376 с.
  30. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит, 2009. 316 с.
  31. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: Физматлит, 2019. 272 с.
  32. Vatulyan A.O., Dudarev V.V., Mnukhin R.M. Functionally graded cylinders: Vibration analysis // ZAMM. J. of Appl. Math.&Mech. 2023. V. 103. № 11. Art. No. e202200430. https://www.doi.org/10.1002/zamm.202200430
  33. Vatulyan A.O., Dudarev V.V., Mnukhin R.M. Identification of characteristics of a functionally graded isotropic cylinder // Int. J. of Mech.&Mater. in Design. 2021. V. 17. № 2. P. 321–332. https://www.doi.org/10.1007/s10999-020-09527-5
  34. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 288 с.
  35. Gupta V.K., Murthy P.N. Optimal design of uniform non-homogeneous vibrating beams // J. of Sound Vibr. 1978. V. 59. № 4. P. 521–531. https://www.doi.org/10.1016/S0022-460X(78)80132-1

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Графики изменения первой собственной частоты ω1 при изменении амплитудных значений законов изменения модуля Юнга E (сплошная линия) и коэффициента Пуассона ν (пунктирная линия)

Скачать (120KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2025